第3課時 集合的並集和交集
（一）教學目標
1．知識與技能
（1）理解兩個集合的並集與交集的含義，會求兩個簡單集合的並集和交集.
（2）能使用Venn圖表示集合的並集和交集運算結果，體會直觀圖對理解抽象概念的作用。
（3）掌握的關的術語和符號，並會用它們正確進行集合的並集與交集運算。
2．過程與方法
通過對實例的分析、思考，獲得並集與交集運算的法則，感知並集和交集運算的實質與內涵，增強學生發現問題，研究問題的創新意識和能力.
3．情感、態度與價值觀
通過集合的並集與交集運算法則的發現、完善，增強學生運用數學知識和數學思想認識客觀事物，發現客觀規律的興趣與能力，從而體會數學的應用價值.
（二）教學重點與難點
重點：交集、並集運算的含義，識記與運用.
難點：弄清交集、並集的含義，認識符號之間的區別與聯系
（三）教學方法
在思考中感知知識，在合作交流中形成知識，在獨立鉆研和探究中提升思維能力，嘗試實踐與交流相結合.
（四）教學過程
| 教學環節 | 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
| 提出問題引入新知 | 思考：觀察下列各組集合，聯想實數加法運算，探究集合能否進行類似“加法”運算.（1）A = {1，3，5}，B = {2，4，6}，C = {1，2，3，4，5，6}（2）A = {x | x是有理數}， B = {x | x是無理數}， C = {x | x是實數}. | 師：兩數存在大小關系，兩集合存在包含、相等關系；實數能進行加減運算，探究集合是否有相應運算.生：集合A與B的元素合並構成C.師：由集合A、B元素組合為C，這種形式的組合就是為集合的並集運算. | 生疑析疑，導入新知 |
| 形成概念 | 思考：並集運算.集合C是由所有屬於集合A或屬於集合B的元素組成的，稱C為A和B的並集.定義：由所有屬於集合A或集合B的元素組成的集合. 稱為集合A與B的並集；記作：A∪B；讀作A並B，即A∪B = {x | x∈A，或x∈B}，Venn圖表示為： | 師：請同學們將上述兩組實例的共同規律用數學語言表達出來.學生合作交流：歸納→回答→補充或修正→完善→得出並集的定義. | 在老師指導下，學生通過合作交流，探究問題共性，感知並集概念，從而初步理解並集的含義. |
| 應用舉例 | 例1 設A = {4，5，6，8}，B = {3，5，7，8}，求A∪B. 例2 設集合A = {x | –1＜x＜2}，集合B = {x | 1＜x＜3}，求A∪B. | 例1解：A∪B = {4, 5, 6, 8}∪{3, 5, 7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.例2解：A∪B = {x |–1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3} = {x = –1＜x＜3}.師：求並集時，兩集合的相同元素如何在並集中表示.生：遵循集合元素的互異性.師：涉及不等式型集合問題.註意利用數軸，運用數形結合思想求解.生：在數軸上畫出兩集合，然後合並所有區間. 同時註意集合元素的互異性. | 學生嘗試求解，老師適時適當指導，評析.固化概念提升能力 |
| 探究性質 | ①A∪A = A， ②A∪= A，③A∪B = B∪A，④∪B，∪B. | 老師要求學生對性質進行合理解釋. | 培養學生數學思維能力. |
| 形成概念 | 自學提要：①由兩集合的所有元素合並可得兩集合的並集，而由兩集合的公共元素組成的集合又會是兩集合的一種怎樣的運算？②交集運算具有的運算性質呢？交集的定義.由屬於集合A且屬於集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集；記作A∩B，讀作A交B.即A∩B = {x | x∈A且x∈B}Venn圖表示 | 老師給出自學提要，學生在老師的引導下自我學習交集知識，自我體會交集運算的含義. 並總結交集的性質. 生：①A∩A = A；②A∩=；③A∩B = B∩A；④A∩，A∩.師：適當闡述上述性質. | 自學輔導，合作交流，探究交集運算. 培養學生的自學能力，為終身發展培養基本素質. |
| 應用舉例 | 例1 （1）A = {2，4，6，8，10}，B = {3，5，8，12}，C = {8}.（2）新華中學開運動會，設A = {x | x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學}，B = {x | x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學}，求A∩B.例2 設平面內直線l1上點的集合為L1，直線l2上點的集合為L2，試用集合的運算表示l1，l2的位置關系. | 學生上臺板演，老師點評、總結.例1 解：（1）∵A∩B = {8}，∴A∩B = C.（2）A∩B就是新華中學高一年級中那些既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學組成的集合. 所以，A∩B = {x | x是新華中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學}.例2 解：平面內直線l1，l2可能有三種位置關系，即相交於一點，平行或重合.（1）直線l1，l2相交於一點P可表示為 L1∩L2 = {點P}；（2）直線l1，l2平行可表示為L1∩L2 =；（3）直線l1，l2重合可表示為L1∩L2 = L1 = L2. | 提升學生的動手實踐能力. |
| 歸納總結 | 並集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}性質：①A∩A = A，A∪A = A，②A∩=，A∪= A，③A∩B = B∩A，A∪B = B∪A. | 學生合作交流：回顧→反思→總理→小結老師點評、闡述 | 歸納知識、構建知識網絡 |
| 課後作業 | 1.1第三課時 習案 | 學生獨立完成 | 鞏固知識，提升能力，反思升華 |
備選例題
例1 已知集合A = {–1，a2 + 1，a2 – 3}，B = {– 4，a – 1，a + 1}，且A∩B = {–2}，求a的值.
【解析】法一：∵A∩B = {–2}，∴–2∈B，
∴a – 1 = –2或a + 1 = –2，
解得a = –1或a = –3，
當a = –1時，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B = {–2}.
當a = –3時，A = {–1，10，6}，A不合要求，a = –3舍去
∴a = –1.
法二：∵A∩B = {–2}，∴–2∈A，
又∵a2 + 1≥1，∴a2 – 3 = –2，
解得a =±1，
當a = 1時，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，0，2}，A∩B≠{–2}.
當a = –1時，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B ={–2}，∴a = –1.
例2 集合A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，
（1）若A∩B =
，求a的取值范圍；
（2）若A∪B = {x | x＜1}，求a的取值范圍.
【解析】（1）如下圖所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，且A∩B=
，
∴數軸上點x = a在x = – 1左側.
∴a≤–1.
（2）如右圖所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}且A∪B = {x | x＜1}，
∴數軸上點x = a在x = –1和x = 1之間.
∴–1＜a≤1.
例3 已知集合A = {x | x2 – ax + a2 – 19 = 0}，B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}，C = {x | x2 + 2x – 8 = 0}，求a取何實數時，A∩B
與A∩C =
同時成立？
【解析】B = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，C = {x | x2 + 2x – 8 = 0} = {2，– 4}.
由A∩B
和A∩C =
同時成立可知，3是方程x2 – ax + a2 – 19 = 0的解. 將3代入方程得a2 – 3a – 10 = 0，解得a = 5或a = –2.
當a = 5時，A = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，此時A∩C = {2}，與題設A∩C =
相矛盾，故不適合.
當a = –2時，A = {x | x2 + 2x – 15 = 0} = {3，5}，此時A∩B
與A∩C =
，同時成立，∴滿足條件的實數a = –2.
例4 設集合A = {x2，2x – 1，– 4}，B = {x – 5，1 – x，9}，若A∩B = {9}，求A∪B.
【解析】由9∈A，可得x2 = 9或2x – 1 = 9，解得x =±3或x = 5.
當x = 3時，A = {9，5，– 4}，B = {–2，–2，9}，B中元素違背瞭互異性，舍去.
當x = –3時，A = {9，–7，– 4}，B = {–8，4，9}，A∩B = {9}滿足題意，故A∪B = {–7，– 4，–8，4，9}.
當x = 5時，A = {25，9，– 4}，B = {0，– 4，9}，此時A∩B = {– 4，9}與A∩B = {9}矛盾，故舍去.
綜上所述，x = –3且A∪B = {–8，– 4，4，–7，9}.