粒子數表象與二次量子化方法在多粒子物理中是必要的方法。對於多粒子系統,尤其是凝聚態物理所研究的多粒子系統基本包含的粒子數是不少於阿伏伽德羅常數的,在這個情況下靠構造對稱或非對稱多粒子波函數來計算各種力學量的期望值是很不現實的,這是因為構造出的波函數會是一個龐然大物。然而,從全同性原理的角度來看,我們的目的是計算力學量的期望值,不需要知道哪些粒子具體占據瞭哪些態。因此,實際上我們隻需要關心這些粒子一共占據瞭哪些態,在這些態上力學量的期望值是多少。然後知道哪些態上有多少個粒子,最後用各個態的期望值乘以對應態上的粒子數就得到瞭多粒子波函數的期望值。這樣看來,我們就可以把多粒子問題轉化為單粒子系綜問題,然後用統計物理的辦法來解決。這就極大地簡化瞭我們的計算。此外,從粒子數表象出發,我們又可以延伸出場的量子化方法——二次量子化,這個方法在量子場論裡是很基本的。因此,凝聚態的多粒子物理方法也稱為凝聚態場論。
在開始推導前,聲明使用力學量對應的小寫字母算符來表示單粒子算符,大寫字母算符來表示多粒子算符。例如力學量 A 的單粒子算符為 hat{a} ,多粒子算符為 hat{A} 。
在引出粒子數表象之前,先回顧一下單粒子問題中求解單體力學量 A 期望值的方法。對於所研究的系統,有哈密頓量 hat{h} ,它有本征態 |phi_irangle 。單體力學量 A 的算符為 hat{a} ,假定情況 [hat{h},hat{a}]=0 。取一個任意態 |psirangle ,用 |phi_irangle 展開
|psirangle=sum_i{c_i|phi_irangle} (1)
那麼 A 在 |psirangle 上的期望值為
bar{A}=langle{}psi|hat{a}|psirangle=sum_i{|c_i|^2A_{ii}} (2)
(2) 式的意義是 A 的期望值等於各個態上力學量 A 的取值對粒子占據幾率的平均。下面來推廣到多粒子情形。首先定義多粒子態的記號
|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle (3)
記號的意義是有 N 個粒子占據 I 個單粒子態 |phi_irangle ,各個粒子態的占據數為 n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I 。對於一個一般的 N 粒子態 |varPsi(N)rangle ,我們可以將其按 (3) 式為基態矢做分解
|varPsi(N)rangle= sum_{n_i}{ C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I)|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle } (4)
求和的意義是對各種粒子占據方式求和,但前提是總粒子數不變。根據之前所述的思想,類比於 (2) 式,對於多粒子系統,當我們計算 A 的期望值時,(2) 式中各個態的占據幾率就應當升級為系統占據某一多粒子態的概率乘以這個多粒子態上各個單粒子態所占據的粒子數,既
|c_i|^2to{}|C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I)|^2n_i (5)
n_i 是第 i 個單粒子態上占據的粒子數。為瞭將多粒子問題和單粒子問題聯系起來,也就是將 (2) 式與 (5) 式聯系起來,我們需要一個將多粒子波函數粒子占據數“讀取”出來的算符 hat{c}_i ,它隻作用於多粒子波函數上
hat{c}_i|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle =f(n_i)|N,n_1n_2cdots{}Box_icdots{}n_Irangle (6)
(6) 式的意義是當 hat{c}_i 作用在 |N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle 上以後,我們得到一個新的波函數,它不是歸一化的。這個歸一化系數記為 f(n_i) ,歸一化的波函數記為 |N,n_1n_2cdots{}Box_icdots{}n_Irangle 。由於 hat{c}_i 是作用在多粒子波函數中單粒子態 |phi_irangle 上的,因此其它的單粒子態還是不受影響的,但是這個粒子態變成什麼我們不知道,就記作 |Box_irangle 。自然地,這個歸一化系數 f(n_i) 也就跟 |phi_irangle 上的粒子數有關瞭。現在,我們將 (1) 式改造一下,把系數 c_i 升級為 (6) 式定義的算符,得到
hat{psi}(x)=sum_i{hat{c}_iphi_i(x)} (7)
此時的 hat{psi}(x) 就不是簡單的函數瞭,而是一個作用在多粒子波函數的算符瞭。將它作用在 |varPsi(N)rangle 上,我們看有什麼樣的結果
begin{equation} begin{aligned} &hat{psi}(x)|varPsi(N)rangle\[5pt] &=sum_{i,n_j}{ hat{c}_iphi_i(x) C(N,n_1n_2cdots{}n_jcdots{}n_I)|N,n_1n_2cdots{}n_jcdots{}n_Irangle }\ &=sum_{i,n_i}{ f(n_i) C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I)phi_i(x)|N,n_1n_2cdots{}Box_icdots{}n_Irangle } end{aligned} end{equation} (8)
可以看到,(8) 式在形式上相似於 (1) 式,它的概率幅比例於 f(n_i) C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I) ,正是我們想要的結果。類比於 (2) 式,我們將 (8) 式代入 hat{a} 的期望值公式中
begin{equation} begin{aligned} bar{A}=&int{ langlevarPsi(N)|hat{psi}^dag(x)hat{a}(x)hat{psi}(x)|varPsi(N)rangle,dx }\[5pt] =&sum_{i,m_i}sum_{j,n_j}{f^*(m_i)f(n_j)int{phi^*_i(x)hat{a}(x)phi_j(x),dx}times}\ &qquad{}quad{},,C^*(N,m_1m_2cdots{}m_icdots{}m_I)C(N,n_1n_2cdots{}n_jcdots{}n_I)times\[5pt] &qquad{}quad{},,langle{}N,m_1m_2cdots{}Box_icdots{}m_I|N,n_1n_2cdots{}Box_jcdots{}n_Irangle\[5pt] =&sum_{i,m_i,n_i}{ A_{ii}f^*(m_i)f(n_i)times{}}\ &qquad,,,C^*(N,m_1m_2cdots{}m_icdots{}m_I)C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I)times\[5pt] &qquad,,,langle{}N,m_1m_2cdots{}Box_jcdots{}m_I|N,n_1n_2cdots{}Box_jcdots{}n_Irangle\[5pt] =&sum_{i,n_i}{ A_{ii}|f(n_i)|^2|C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I)|^2 } end{aligned} end{equation} (9)
(9) 式的結果正是我們所預期的,A 的期望值聯系起來瞭單粒子態上的取值、單粒子態上的粒子數以及多粒子態的占據概率。對比 (5) 式,我們要求
|f(n_i)|^2=n_ito{}f(n_i)=sqrt{n_i} (10)
另一方面,(9) 式又可以表示為
begin{equation} begin{aligned} bar{A} =&sum_{i,m_i}sum_{j,n_j}{int{phi^*_i(x)hat{a}(x)phi_j(x),dx}times}\ &qquad{}quad,,,C^*(N,m_1m_2cdots{}m_icdots{}m_I)C(N,n_1n_2cdots{}n_jcdots{}n_I)times\[5pt] & qquadquad,,,langle{}N,m_1m_2cdots{}m_icdots{}m_I|hat{c}^dag_ihat{c}_j|N,n_1n_2cdots{}n_jcdots{}n_Irangle\[5pt] =&sum_{i,n_i}{ A_{ii}|C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I)|^2}times\[-5pt] &quad,,,,,langle{}N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I| hat{c}^dag_ihat{c}_i|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle end{aligned} end{equation} (11)
因此得出
hat{c}^dag_ihat{c}_i|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle=n_i|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle (12)
我們可以稱 hat{N}_i=hat{c}^dag_ihat{c}_i 為粒子數算符。現在遺留瞭一個問題,那就是 (6) 式得到的 |N,n_1n_2cdots{}Box_icdots{}n_Irangle 具體是什麼樣子的態。對於單體力學量 A 的多粒子算符
hat{A}=sum_{i}{hat{a}(x_i)} (13)
是若幹單粒子算符的和,x_i 為粒子坐標。利用多粒子算符來計算期望值,表達式為
begin{equation} begin{aligned} bar{A} =&langle{}varPsi(N)|hat{A}|varPsi{}(N)rangle\[5pt] =&sum_{m_i,j,n_k}{ C^*(N,m_1m_2cdots{}m_kcdots{}m_I) C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I) }times\ &qquad,,,,langle{}N,m_1m_2cdots{}m_icdots{}m_I|hat{a}(x_j)|N,n_1n_2cdots{}n_kcdots{}n_Irangle\[5pt] end{aligned} end{equation} (14)
當 hat{a}(x_j) 作用在多粒子態中 phi_i(x) 態上後,會得到內積 A_{ii} 。由於有一個 phi_i(x) 態用於求內積瞭,因此剩餘的多粒子態等價於 N-1 粒子的多粒子態
begin{equation} begin{aligned} &langle{}N,m_1m_2cdots{}m_icdots{}m_I|hat{a}(x_j)|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle=\[5pt] &A_{ii}g^*(m_i)g(n_i)times\[5pt] &langle{}N-1,m_1m_2cdots{}m_i-1cdots{}m_I|N-1,n_1n_2cdots{}n_i-1cdots{}n_Irangle end{aligned} end{equation} (15)
其中 g(n_i) 是相差的歸一化系數。將 (15) 式代入 (14) 式
begin{equation} begin{aligned} bar{A} =&sum_{i,m_i,n_i}{ A_{ii}g^*(m_i)g(n_i) C^*(N,m_1m_2cdots{}m_icdots{}m_I) C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_I)times}\ &qquad,,,langle{}N-1,m_1m_2cdots{}m_i-1cdots{}m_I|N-1,n_1n_2cdots{}n_i-1cdots{}n_Irangle end{aligned} end{equation} (16)
比較 (16) 式與 (9) 式,得出
begin{equation} begin{aligned} &f(n_i)=g(n_i)=sqrt{n_i}\[5pt] &|N,n_1n_2cdots{}Box_icdots{}n_Irangle=|N-1,n_1n_2cdots{}n_i-1cdots{}n_Irangle end{aligned} end{equation} (17)
因此,(6) 式表示為
hat{c}_i|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle =sqrt{n_i}|N-1,n_1n_2cdots{}n_i-1cdots{}n_Irangle (18)
可以看到,hat{c}_i 的作用是將一個粒子態湮滅掉,因此稱它為湮滅算符。再由 (12) 式可知
hat{c}^dag_i|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_Irangle =sqrt{n_i+1}|N+1,n_1n_2cdots{}n_i+1cdots{}n_Irangle (19)
相反地,hat{c}^dag_i 起到瞭產生一個新粒子態的作用,因此稱為產生算符。以上的推導都是假設瞭 [hat{h},hat{a}]=0 ,如果這個條件不成立,(2) 式還要加上幹涉項
bar{A}=sum_{i}|c_i|^2A_{ii}+sum_{ine{}j}c^*_ic_jA_{ij} (20)
仍然使用上面的定義,(11) 式變為
begin{equation} begin{aligned} bar{A} =&sum_{i,n_i,n_j}{ A_{ij}C^*(N,n_1n_2cdots{}n_i+1cdots{}n_j-1cdots{}n_I) C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_jcdots{}n_I)}times\ &qquad,,langle{}N-1,n_1n_2cdots{}n_i+1cdots{}n_j-1cdots{}n_I|hat{c}^dag_ihat{c}_j|N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_jcdots{}n_Irangle\[5pt] =&sum_{i,n_i,n_j}{ A_{ij}sqrt{n_i+1}sqrt{n_j}}times\ &qquad,,,{}C^*(N,n_1n_2cdots{}n_i+1cdots{}n_j-1cdots{}n_I) C(N,n_1n_2cdots{}n_icdots{}n_jcdots{}n_I) end{aligned} end{equation} (21)
(21) 式與 (20) 式的形式仍然相似,同樣引入瞭相幹項的貢獻。回過頭來,再來對比 (14) 式與 (9) 式,我們發現
hat{A}=int{hat{psi}^dag(x)hat{a}(x)hat{psi}(x),dx} (22)
此式將單粒子算符與多粒子算符聯系起來。有瞭這個定義,不難推廣到兩體相互作用的情形
hat{B}=int{hat{psi}^dag(x_1)hat{psi}^dag(x_2)hat{b}(x_1,x_2)hat{psi}(x_2)hat{psi}(x_1),dx_1dx_2} (23)
此時 hat{psi}(x_1),hat{psi}(x_2) 的順序不能隨意排佈,要考慮到 hat{B} 的厄米性。
現在,我們來分析一下 (7)、(22) 式與 (23) 式的意義。我們看到,將 (7) 式作用在多粒子波函數上以後,得到瞭一系列多粒子波函數的疊加態,疊加系數是與系統處於該多粒子態的概率幅和各個單粒子態占據數成比例的。我們可以想象,許許多多的粒子在空間中構成瞭一種場,粒子就是場的激發態。每用 hat{c}_i^dag 作用在場上,就會產生新的粒子。而對於給定的多粒子場 |N,n_1n_2cdots{}n_Irangle ,我們使用 hat{psi}(x) 作用上去
hat{psi}(x)|N,n_1n_2cdots{}n_Irangle=sum_i{sqrt{n_i}}phi_i(x)|N-1,n_1n_2cdots{}n_i-1cdots{}n_Irangle (25)
得到瞭這個場的振幅信息,表達瞭這個場中有 n_i 個粒子在狀態 phi_i 上。說明 hat{psi}(x) 刻畫瞭場的強度,因此稱它為場算符。基於這個觀點,(22) 式與 (23) 式的意義很顯然瞭,積分號內部
begin{equation} begin{aligned} &hat{psi}^dag(x)hat{a}(x)hat{psi}(x)\[5pt] &hat{psi}^dag(x_1)hat{psi}^dag(x_2)hat{b}(x_1,x_2)hat{psi}(x_2)hat{psi}(x_1) end{aligned} end{equation} (26)
它們就描述瞭力學量在空間中分佈密度。在量子場論中,我們用 hat{c}_i^dag 作用在真空態 |0rangle 上可以得到各種各樣的場,此時的真空態是一個空無一物的絕對真空。在凝聚態多粒子物理中,我們討論的則是多粒子系統的能量激發,以及激發後系統的輸運性質等等。此時我們也有一個系統基態,稱為 Fock 真空態 |0rangle 。這個真空態是用系統的各個粒子基態波函數來描述的,它就不是量子場論中的絕對真空態瞭。以晶格為例,原子的振動能量是量子化的。晶格的振動有自己的基態波函數,每當它被激發,晶格振動能量增加一份 hbaromega_i(bm{k}) ,也會有增加一個集體振動的動量 hbar{}bm{k} 。按照粒子數表象的處理方法,晶格振動的各個激發態也可以用 hat{c}_{i,bm{k}}^dag,hat{c}_{i,bm{k}} 聯系起來。自然地,我們也可以定義粒子數算符,將它作用在晶格振動波函數上來得到描述晶格振動的能量
hat{H}=sum_{i,bm{k}}hbaromega_i(bm{k})left({hat{c}}_{i,bm{k}}^daghat{c}_{i,bm{k}}+frac{1}{2}right) (27)
形式上來看,好像有粒子在晶格中產生或湮滅。這種觀點就是元激發,對應的粒子稱為準粒子。在這個例子中,晶格振動的元激發就稱為聲子。之所以稱為準粒子,原因在於它實際上是集體運動模式的激發,並不對應真實的粒子。這麼來看,晶格就像是一個背景,它容納瞭聲子場的存在。所以凝聚態多粒子物理也成為凝聚態場論。一般地,一個包含單體和多體相互作用的多粒子系統哈密頓量
hat{H}=sum_{i,j}epsilon_{ij}hat{c}^dag_ihat{c}_j+sum_{i,j,m,n}v_{ijmn}hat{c}^dag_ihat{c}^dag_jhat{c}_mhat{c}_n+cdots (28)
如果可以找到幺正變換,將其對角化
hat{H}=sum_i{E_ihat{C}^dag_ihat{C}_i} (29)
說明我們找到瞭一種元激發,對應的準粒子產生、湮滅算符為 hat{C}^dag_i,hat{C}_i ,準粒子能譜為 E_i 。