行星轉移相位角計算推導

今年是火星探測的窗口年,很多國傢和地區本來計劃的火星探測因為疫情泡湯。當然,我國的“天問一號”探測器將在七月份按期發射。說到火星探測,就不得不提到行星轉移中的相位角問題。在玩KSP的時候,很多人面對交會對接、行星轉移也很頭疼,隻能一圈圈地飛等著轉移時機,然後前前後後調整maneuver點的位置。雖說坎星的時間對我們地球人來說不值一提,但是如果掌握瞭相位角計算,也許會方便很多。這一期將利用最簡單的開普勒第三定律來推導行星轉移的相位角。

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一、相位角定義

相位角是航天器交會對接、行星轉移中的一個重要概念。航天器從一個軌道轉移到另一個軌道時,為瞭保證轉移後正好被另一個行星捕獲,需要在進行軌道轉移前計算好航天器與行星的初始角度,這個角度被稱為相位角。

下圖以低軌向高軌轉移為例,紅色點表示的航天器初始在低圓軌道,藍色點表示的行星初始在高圓軌道。A想轉移到C的軌道需要使用霍曼轉移方式,即在A點增加速度,進入橢圓軌道,這個軌道低點與航天器初始軌道內切於A點,高點與行星初始軌道外切與B點。而此次軌道轉移成功的前提是,航天器從A在到達B點時,行星正好從C到達B點。因此,航天器在A點進行加速時,必須保證A和C點分別與中心天體的夾角(∠AOC)為特定的相位角

行星轉移相位角示意圖

二、相位角推導

我們以初始軌道都為正圓形軌道來推導這個相位角的計算。

假設航天器初始軌道半徑OA=r,行星軌道半徑OC=R,則由A點達到B點的橢圓軌道半長軸為

frac{AB}{2}=frac{r+R}{2}

根據開普勒第三定律,同一個中心天體下,周期的平方與半長軸的三次方之比為定值,我們來計算橢圓軌道的周期

frac{T^2}{(frac{AB}{2})^3}=frac{T_r^2}{r^3}=frac{T_R^2}{R^3}=Const\ T=T_Rcdot(frac{AB}{2R})^{frac{3}{2}}=T_Rcdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}

由於從A點到B點是從橢圓一個長軸定點到達另一個長軸定點,其時間為橢圓軌道周期的一半,所以從A到B的轉移時間為

t_{Arightarrow B}=frac{1}{2}cdot T=frac{1}{2}cdot T_Rcdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}

航天器從A到B的時間內,行星從C到B點。在行星的圓軌道上,從C點到B點所走過的角度∠COB為:C到B的時間比上其圓軌道的周期

t_{Crightarrow B}=t_{Arightarrow B}\ ∠_{COB}=frac{t_{Crightarrow B}}{T_R}=360^ocdotfrac{frac{1}{2}cdot T_Rcdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}}{T_R}=180^ocdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}

相位角為

theta=180^o-∠_{COB}=180^ocdot[1-(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}]

由此,我們推導得到瞭轉移的相位角僅與初末軌道的半徑有關

以上推導是從低軌道到高軌道的轉移,但是從高軌到低軌的轉移也是同理的,從B到A的時間與A到B的時間不變,因此行星所走的角度也是不變的。

三、“地-月系”和“地-火系”驗證

3.1“地-月系”驗證

我們首先用從近地軌道LEO到月球的轉移來進行驗證。

則圖中中心天體O為地球,行星為月球。航天器初始在LEO軌道,因此其軌道半徑r為地球半徑。行星的軌道半徑R即為月球的軌道半徑。由於地球半徑6400km左右,相比地月距離380000km而言非常小,可忽略不計。所以,相位角為

theta=180^ocdot[1-(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}]=180^ocdot[1-(frac{1}{2})^{frac{3}{2}}]approx116^o

3.2“地-火系”驗證

從地球發射火星探測器,也需要滿足地球和火星分別與太陽的夾角為相位角。此時中心天體為太陽,r為地球軌道半徑,R為火星軌道半徑,通過查閱數據可以大致得到,火星軌道半徑約為地球軌道半徑的1.5倍,R=1.5r。據此,我們計算”地-火“轉移的相位角

theta=180^ocdot[1-(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}]=180^ocdot[1-(frac{r+1.5r}{2times1.5r})^{frac{3}{2}}]=180^ocdot[1-(frac{5}{6})^{frac{3}{2}}]approx43^o

查閱文獻可知,實際火星探測的相位角為43~44度左右,因此,我們的理論推導被驗證正確。(參考文獻:火星探測飛行原理和發射時機分析,中國科學E輯:技術科學,2009年39卷第3期,535~543)

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