今年是火星探測的窗口年，很多國傢和地區本來計劃的火星探測因為疫情泡湯。當然，我國的“天問一號”探測器將在七月份按期發射。說到火星探測，就不得不提到行星轉移中的相位角問題。在玩KSP的時候，很多人面對交會對接、行星轉移也很頭疼，隻能一圈圈地飛等著轉移時機，然後前前後後調整maneuver點的位置。雖說坎星的時間對我們地球人來說不值一提，但是如果掌握瞭相位角計算，也許會方便很多。這一期將利用最簡單的開普勒第三定律來推導行星轉移的相位角。
相關傳送門
一、相位角定義
相位角是航天器交會對接、行星轉移中的一個重要概念。航天器從一個軌道轉移到另一個軌道時，為瞭保證轉移後正好被另一個行星捕獲，需要在進行軌道轉移前計算好航天器與行星的初始角度，這個角度被稱為相位角。
下圖以低軌向高軌轉移為例，紅色點表示的航天器初始在低圓軌道，藍色點表示的行星初始在高圓軌道。A想轉移到C的軌道需要使用霍曼轉移方式，即在A點增加速度，進入橢圓軌道，這個軌道低點與航天器初始軌道內切於A點，高點與行星初始軌道外切與B點。而此次軌道轉移成功的前提是，航天器從A在到達B點時，行星正好從C到達B點。因此，航天器在A點進行加速時，必須保證A和C點分別與中心天體的夾角（∠AOC）為特定的相位角
行星轉移相位角示意圖
二、相位角推導
我們以初始軌道都為正圓形軌道來推導這個相位角的計算。
假設航天器初始軌道半徑OA=r，行星軌道半徑OC=R，則由A點達到B點的橢圓軌道半長軸為
frac{AB}{2}=frac{r+R}{2}
根據開普勒第三定律，同一個中心天體下，周期的平方與半長軸的三次方之比為定值，我們來計算橢圓軌道的周期
frac{T^2}{(frac{AB}{2})^3}=frac{T_r^2}{r^3}=frac{T_R^2}{R^3}=Const\ T=T_Rcdot(frac{AB}{2R})^{frac{3}{2}}=T_Rcdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}
由於從A點到B點是從橢圓一個長軸定點到達另一個長軸定點，其時間為橢圓軌道周期的一半，所以從A到B的轉移時間為
t_{Arightarrow B}=frac{1}{2}cdot T=frac{1}{2}cdot T_Rcdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}
航天器從A到B的時間內，行星從C到B點。在行星的圓軌道上，從C點到B點所走過的角度∠COB為：C到B的時間比上其圓軌道的周期
t_{Crightarrow B}=t_{Arightarrow B}\ ∠_{COB}=frac{t_{Crightarrow B}}{T_R}=360^ocdotfrac{frac{1}{2}cdot T_Rcdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}}{T_R}=180^ocdot(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}
相位角為
theta=180^o-∠_{COB}=180^ocdot[1-(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}]
由此，我們推導得到瞭轉移的相位角僅與初末軌道的半徑有關
以上推導是從低軌道到高軌道的轉移，但是從高軌到低軌的轉移也是同理的，從B到A的時間與A到B的時間不變，因此行星所走的角度也是不變的。
三、“地-月系”和“地-火系”驗證
3.1“地-月系”驗證
我們首先用從近地軌道LEO到月球的轉移來進行驗證。
則圖中中心天體O為地球，行星為月球。航天器初始在LEO軌道，因此其軌道半徑r為地球半徑。行星的軌道半徑R即為月球的軌道半徑。由於地球半徑6400km左右，相比地月距離380000km而言非常小，可忽略不計。所以，相位角為
theta=180^ocdot[1-(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}]=180^ocdot[1-(frac{1}{2})^{frac{3}{2}}]approx116^o
3.2“地-火系”驗證
從地球發射火星探測器，也需要滿足地球和火星分別與太陽的夾角為相位角。此時中心天體為太陽，r為地球軌道半徑，R為火星軌道半徑，通過查閱數據可以大致得到，火星軌道半徑約為地球軌道半徑的1.5倍，R=1.5r。據此，我們計算”地-火“轉移的相位角
theta=180^ocdot[1-(frac{r+R}{2R})^{frac{3}{2}}]=180^ocdot[1-(frac{r+1.5r}{2times1.5r})^{frac{3}{2}}]=180^ocdot[1-(frac{5}{6})^{frac{3}{2}}]approx43^o
查閱文獻可知，實際火星探測的相位角為43~44度左右，因此，我們的理論推導被驗證正確。（參考文獻：火星探測飛行原理和發射時機分析，中國科學E輯：技術科學，2009年39卷第3期，535~543）