1.點 x_{0} 和其去心鄰域 mathring U(x_{0}) 、鄰域 U(x_{0}) 的關系（僅在“高數”范圍內，想瞭解更具體的可以看數學分析）
點 x_{0} 這個概念其實沒什麼好解釋的，就是自變量 x 與數軸上某個常數 c 對應，比如 x=1 ， x=0 ，此時我們用 x_{0} 來泛指這些常數 c ，表示這是一個已經確定的量 x_{0} ，而不是一個變量 x
這裡要註意的就是0^{+} 或者 0^{-} 這種不能當作 x_{0} ，因為標準分析的實數概念裡沒有無窮小的位置，因此這裡隻能把0^{+} 或者 0^{-}的“0 ”作為x_{0}。之前有個知友就是不清楚這一點，導致混淆瞭 x_{0}=0 處右導數 f_{+}^{'}(0) 和導函數右極限 f'(0^{+}) 這兩個概念，把0^{+}當作定點代入到導數定義中去瞭。f'(0^{+})完整的表示應該是這樣的 lim_{x rightarrow 0^{+}}f'({x)} ，因此表示的是導函數的右極限，而不是右導數，至於這兩者的區別，詳見我另一篇文章，這裡就不再細說瞭
鄰域這個概念用幾何去表示會比較直觀，但理解上可能會有誤區。通常來講，鄰域 U(x_{0}) 是一個開區間 (x_{0}-delta,x_{0}+delta) , delta 稱為鄰域半徑，且 delta>0 ，也就是說 U(x_{0}) 必須包含除 x_{0} 之外的點，但是！！！我們一般會說存在某個鄰域，也就是說我們使用這個概念的時候會默認 delta 趨於無窮小，因此，鄰域這個概念表達的概念應該是 x_{0} 附近的一個“很小很小很小”的“局部”區域，小到我們甚至會覺得（實際上不是）就僅僅包含這個點 x_{0} 。
為什麼呢？因為隻要你指出某個異於 x_{0} 的點 x_{1} ，它們就是兩個實數，不管你把它們的距離設置到多近，此時都可以找到一個 delta ，比如 delta=|frac{x_{0}-x_{1}}{2}| ，使得 x_{0} 的鄰域內不包括點 x_{1}
但正因為如此，我們很容易會陷入一個誤區，那就是把孤立點 x_{0} 的性質推廣到其鄰域這個區域的性質上來，這裡必須強調的是：點 x_{0}的性質一般不能推到鄰域！！！比如點連續、點可導都不能推到鄰域連續、鄰域可導，反例下文會給出
瞭解鄰域這個概念之後，去心鄰域就很簡單瞭，就是把鄰域的中心 x_{0} 挖去，形成左鄰域 (x_{0}-delta,x_{0}) 和右鄰域 (x_{0},x_{0}+delta) 的並集—— x_{0} 的去心鄰域 mathring U(x_{0})=(x_{0}-delta,x_{0})cup(x_{0},x_{0}+delta)
2. f(x) 在 x_{0} 有定義以及在 mathring U(x_{0}) 、U(x_{0}) 有定義
在x_{0}有定義就是說當 x= x_{0} 時，存在 f(x_{0}) ,聽上去好像是廢話，但不是如此，因為定義是具有任意性的！比如 f(x)=frac{1}{x} 在 x=x_{0}=0 時是沒有定義的對吧，但此時我完全可以在 x_{0}=0 處補充定義 f(x_{0})=0 ,形成一個R上的分段函數。可能你會覺得這樣沒有意義，對這個函數來說確實沒什麼意義，因為就算補充瞭這個定義，這函數在這一點也是不連續的，沒什麼實際效果呀，但如果是下面這個例子呢？
begin{eqnarray} f(x) = begin{cases} x^{2}*sin(frac{1}{x}) & xne0 / 0 & x=0/ end{cases} end{eqnarray}
如果不補充 f(0)=0 ，在x_{0}=0是不連續的，自然沒有導數，但如果補充瞭這個定義，在整個R上就都有導數，也就是在整個R上為可導函數
x=0的導數：f'(0)=lim_{x rightarrow 0}{frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{f(x)}{x}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{x^{2}*sin(frac{1}{x})}{x}}= lim_{x rightarrow 0}x*sin(frac{1}{x})=0
x≠0的導數：
f'(x)=2x*sin(frac{1}{x})-cos(frac{1}{x})
另外從導數來看，begin{eqnarray} f'(x) = begin{cases} 2x*sin(frac{1}{x})-cos(frac{1}{x}) & xne0 / 0 & x=0/ end{cases} end{eqnarray} 中有表達式的那部分，本來在 x_{0}=0 是沒有定義的，因此，在R上不存在原函數
但在補充瞭 f'(0)=0 之後，盡管 f'(x) 存在 x_{0}=0 這個振蕩間斷點，但這時在R上卻存在原函數 f(x) ，這是多麼神奇的一個結果啊，因此不要小看“存在定義”這個概念
類似的，某點處有定義，推廣到去心鄰域內的其他點滿足該條件，那就是該點去心鄰域內有定義，兩者加起來就是該點鄰域內有定義
3. f(x) 在 x_{0} 可導、n階可導與f(x)在 mathring U(x_{0}) 、U(x_{0}) 可導、n階可導的初步區分
為什麼突然就跳到可導上來瞭？因為我們談到 f(x) 的導數，一般都是指 f(x) 的導函數 f'(x) ，而 f'(x) 就是由每一個點 x_{0} 的導數值 f'(x_{0}) 定義而來的，某點可導即存在導函數在某點有定義，區間可導即導函數在區間內均存在定義。如果不理解，可參考我另一篇文章的“ 一、1.區分“導數”和“導函數” ”部分的詳細解釋，這裡就不多費口舌瞭，另外下文的“導函數”也將不與“導數”進行區分
因此，f(x) 在 x_{0} 可導，就是說 f(x) 的一階導數 f'(x) 在 x_{0}處有定義 f'(x_{0}) ，可以看出這個條件對一階導函數 f'(x) 來說是相當弱的！！！就像f(x) 在 x_{0} 有定義一樣。想想也知道這個條件並不能推出f'(x)在x_{0}處連續、可導甚至在mathring U(x_{0}) 、U(x_{0})連續、可導這些強條件瞭
類似的，f(x) 在 x_{0} 處n階可導，指的是：f(x)的n階導數 f^{(n)}(x) 在 x_{0}處有定義 f^{(n)}(x_{0}),同樣也說明不瞭f(x) 在mathring U(x_{0}) 、U(x_{0})n階可導
經典反例：大致思路就是讓 f(x)=x^{2}*sin(frac{1}{x}) 這樣的函數在x→0的過程中不斷出現，構造出來的函數大概是這樣子的， f(x)=x^4(x-frac{1}{k})^2(x-frac{1}{k+1})^2cos(frac{1}{x-frac{1}{k}}) ， xin(frac{1}{k+1},frac{1}{k}) ,端點和0處都取f(x)=0，詳見下面回答
4.f(x)在 x_{0}極限存在蘊含的條件
這篇文章不介紹詳細定義，因此這裡要說的僅僅是：在同濟高數的定義裡，f(x)在 x_{0}極限存在，除瞭表示該點處左、右極限存在且相等這種都清楚的條件之外，還有一個容易被忽視的條件，那就是——f(x)在 x_{0}的去心鄰域mathring U(x_{0})內均有定義！！！滿足這個條件後才考慮極限是否存在
例如， lim_{x rightarrow 0}{frac{sin(x*sin(frac{1}{x}))}{x*sin(frac{1}{x})}} ,由於在x_{0}=0 附近，總是存在 x=frac{1}{npi} ,使得分母 x*sin(frac{1}{x})=frac{1}{npi}*sin(npi)=0 對原式無意義，也就是說 x=frac{1}{npi} 這一系列無定義點，是無論怎麼縮小鄰域半徑都無法排除的，導致對x_{0}=0，無法達成極限定義的條件——f(x)在 x_{0}的去心鄰域mathring U(x_{0})內均有定義，因此該極限不存在
類似的，某點處極限存在，推廣到去心鄰域內的其他點滿足該條件，那就是該點去心鄰域內極限存在，兩者加起來就是該點鄰域內極限存在
5.f(x)在 x_{0} 連續蘊含的條件
連續的定義： lim_{x rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}) , 由前文可知，這裡蘊含瞭兩個條件：
（1）f(x) 在 x_{0} 有定義；（2）f(x)在 x_{0}的去心鄰域mathring U(x_{0})內均有定義
合起來就是：f(x)在 x_{0}的鄰域U(x_{0})內均有定義（前文說到某點處n階可導，可以理解為n階導函數在該點處有定義，結合“某點的可導必連續”，就可以得到後文的一個結論，讀者在這裡可以先思考一下）
類似的，某點處連續，推廣到該點去心鄰域內的其他點滿足該條件，那就是該點去心鄰域內連續，兩者加起來就是該點鄰域內連續
但要註意，某點連續並不能推出該點去心鄰域內連續，反例是由狄利克雷函數D(x)構造出來的函數 f(x)=x*D(x) ,因為該函數在 x_{0}=0 處有 f(0)=0，lim_{x rightarrow 0}{f(x)}=0 （有界乘無窮小極限為0），因此在 x_{0}=0 這一點是連續的，但其他點都是不連續的，因此在 x_{0}=0 的去心鄰域內並不連續
6.f(x)在 x_{0} 可導蘊含——f(x)在 x_{0} 連續（這就是“可導必連續”）
這部分應該不用講瞭吧，可以見我之前的回答
類似的，某點處可導，推廣到該點去心鄰域內的其他點滿足該條件，那就是該點去心鄰域內可導，兩者加起來就是該點鄰域內可導
但要註意，某點可導並不能推出該點去心鄰域內可導，反例請搜索處處連續但處處不可導的“魏爾斯特拉斯函數”W(x)，然後對其進行改造就有 f(x)=x*W(x) ，由復合函數的連續性可知：該函數在 x_{0}=0 處連續，且 f(0)=0 ，而由於W(x)連續，所以 lim_{x rightarrow 0} W(x) 存在，不妨設 lim_{x rightarrow 0} W(x)=A
因此，f'(0)=lim_{x rightarrow 0}{frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=lim_{x rightarrow 0}{frac{f(x)}{x}}=lim_{x rightarrow 0} W(x)=A ，即 f(x) 在0處可導，而其他點由於W(x)的特點，都是不可導的
由此可見，某點可導推不出鄰域內連續，隻有鄰域可導才能對應地推出鄰域內連續
7.f(x)在 x_{0} n階可導的深入理解
上面已經對n階可導有一個初步的理解，現在從另一個角度來理解n階導數的意義
我們知道n階可導是從可導推廣而來的概念，也就是說 f(x) 在 x_{0} 處n階可導，是站在其n-1階導數 f^{(n-1)}(x) 的角度而言的，即函數 f^{(n-1)}(x) 在 x_{0} 處導數存在，為 f^{(n)}(x_{0}) 。換言之，函數 f^{(n-1)}(x) 在 x_{0} 處可導
由於“可導必連續”，因此 f^{(n-1)}(x) 在 x_{0} 處連續
由前面連續蘊含的條件可知： f^{(n-1)}(x) 在 x_{0} 的鄰域 U(x_{0}) 內均有定義，但要註意鄰域內有定義並不能得出：f^{(n-1)}(x) 在 x_{0} 的鄰域 U(x_{0}) 內連續、可導
不過，此時若將 f^{(n-1)}(x) 視為n-2階導數 f^{(n-2)}(x) 的導數
由前面n階可導的初步理解可知： f^{(n-2)}(x) 在x_{0} 的鄰域 U(x_{0}) 內均可導
由此往前推，可以得出：在n-2階之前的所有導數，包括原函數f(x)均滿足鄰域內可導、連續
也就是說：從“點 x_{0} n階可導”這個點可導、點連續的性質，要推出 x_{0} 鄰域內可導，再由鄰域內可導得出鄰域內連續，需要降2階！！！即：
n=2 時
f(x) 在 x_{0} 處2階可導 （點可導）———→f(x)在x_{0}鄰域內可導、連續（鄰域~）（可以當成“0階導數”，雖然沒這個說法）
n≥3 時
f(x)在 x_{0} 處 n 階可導 （點可導）
———→f(x) 及其 1 sim（n-2） 階導函數，在 x_{0} 鄰域內可導、連續（鄰域~）
這裡如果還是覺得亂，我提醒一下：務必註意“可導、連續”這些字眼的“主語”，詳見評論